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八元數解開宇宙維度(非常令人著迷,宇宙如何運行的答案,或許就藏于八元數之中)



博科園:本文為數學/物理類

也許關于宇宙最值得注意的事實是,宇宙中的每一個粒子,無論何時、何地、在任何條件下,都遵循完全相同的物理定律。自然界遵循的規則對萬物來說都是相同的,通過找到描述這些規則的數學結構,我們也可以描述自然。通常,發現一種新的數學結構,會產生一種新物理框架的發展,而在該框架準確描述宇宙的地方,就可以推導出新的物理學。對于宇宙來說,最令人著迷的數學可能性之一是八元數。


八元數有機會成為宇宙如何運行的答案?還是僅僅是炒作?下面讓我們從頭開始:從物理基礎上的數學開始,一起來探索答案吧!如果你在數學上所掌握的只是實數概念,你仍然可以走得很遠。從伽利略到牛頓,從庫侖到麥克斯韋,整個經典物理學都建立在實數的基礎上。力定律、運動方程和更多的東西都可以推導出來,而不需要求助于比實數集(包括變量、常數和相關函數)更高級的數學。


要可視化單位八元數的乘法,需要在更高維度的空間中思考(左圖),(右圖)是任意兩個單位八元數的乘法表。

但這已經需要一個花了幾千年才發展起來的數學飛躍:將負數包括在內的飛躍。當你把球扔向空中,問它什么時候會落地,你會得到兩個關于時間的答案:一個是肯定的,一個是否定的。有時,任何一個答案都可能是正確的,但僅靠數學不能告訴你適用于哪種情況。為此,你需要問題的物理條件,這就是你如何決定哪個答案是相關的。但是,實數?(即使同時包括正數和負數?)其數學結構的復雜性也是有限的。


例如,任何實數,當你平方它時,不管你開始的實數是正數還是負數,總是得到一個正數。但是,如果嘗試取實數的平方根,則只有正數才會給出實數結果。負數的平方根沒有很好的定義,如果我們把自己限制在實數集上,無論如何都不是這樣。但是有一種新的數學結構可以添加到折疊中,它不僅可以定義負數的平方根,還可以執行僅使用實數不可能進行的新數學運算。這一進步需要完全引入一組新的數:虛數復數,其中虛數i被定義為√(-1)。


實數只有一個實數部分,由實數定義:a,但是復數既有實數部分,也有虛數部分a+bi,其中a是實數部分,bi是虛數部分(B也是實數)。通過從實數學到復數的數學(包括復雜群論的數學),一套全新的物理現象可能會出現。量子物理學不同尋常地利用了這一點,指出執行量子操作的順序產生了巨大差異。對于實數,你是乘2*3還是乘3*2都無關緊要;你會得到同樣的答案,同樣對于復數,(2+5i)*(3-4i)與(3-4i)*(2+5i)相同。


但是對于量子操作者來說,順序是非常重要的,如果你先測量一個量子粒子在x方向上的自旋,然后再在y方向上測量,這個粒子的性質,將與你以相反順序測量它的性質有根本不同。這個屬性稱為非交換性?,需要復數的數學而不是實數的數學(特別是復向量空間)才能解釋它。一個復數的平方可以得到一個負的結果,這一事實催生了狄拉克方程革命性的數學解,預測了“負量子態”的存在。狄拉克最初稱這些狀態為“空穴”。


但不久之后,物理學家們意識到真正發生了什么:這是反電子或正電子形式的反物質第一個理論預測,其實驗證實是現代量子物理學發展過程中最重要的發現之一。你可能會直觀地認為,如果能找到一種更復雜、更一般的數學結構來擴展復數?(就像復數擴展實數?的方)就可以找到一個新物理應用。如果你試圖取一個復數的平方根,不管它的實部和虛部是正數還是負數,總是會得到一個復數,所以這條路線不會給你帶來更豐富的數學結構。


但是有一個固有的非交換擴展可以應用于復數:不是讓i2=-1,而是定義三個獨立的實體,i,j和k,其中i2=j2=k2=-1,但是組合i*j*k=-1。這組四重因子,得到的不是實數(A)或復數(a+bi),而是所謂的四元數:a+bi+cj+dk。四元數在數學中非常有用,但它們也與大量的物理應用有關。復數表示二維平面(具有實軸和虛軸)中的點,而四元數具有足夠的維度和自由度來描述三維空間中的點。洛倫茲變換使用四元數組,它描述了當接近光速時,長度如何收縮和時間如何膨脹。


廣義相對論可以與現代代數中的四元數聯系起來,弱相互作用涉及四元數,三維空間旋轉也是如此。如果將系統旋轉360度,某些量子現象就會反轉,但如果你再次旋轉720度,就會恢復正常。四元數基本上是不可交換的,并解釋為什么將三維對象繞一個軸旋轉,然后再繞另一個軸旋轉,最終狀態與繞相同的兩個軸旋轉相同的對象不同,但順序相反。所以,你可能會想,能把四元數延伸得更遠嗎?有沒有其他方法來利用數學,在那里有另一種選擇來打開一個更豐富的結構?


答案是肯定的,但這是有代價的,更復雜的數學結構的下一步是從四元數到八元數,每個八元數有八個元素。對于四元數,乘法順序很重要,因為Q1*Q2與Q2*Q1不同,但四元數仍然是可結合的。如果有三個四元數(q1、q2和q3),則(q1*q2)*q3=q1*(q2*q3)。但是如果你有三個八元數,它們既是非交換的,也是非結合的;乘法順序不僅重要,而且以這種全新的方式很重要。四元數的數學與許多已知物理理論有關,而八元數的數學描述是超越已知物理的運算。


描述出現在擴展中的現象,如大統一理論(GUTS)和弦理論。雖然八元數在物理學中的應用還只是猜想,但有很多很好的理由讓我們對這些想法感興趣。八元數可以告訴我們,從理論上講,構建超對稱量子場論需要多少時空維度。它們與特殊的李群聯系在一起,這些特殊的李群被用來構建量子場,并通過E(8)群在超弦理論中發揮作用。我們在上文中討論的四類數(實數、復數、四元數和八元數)在抽象代數的數學領域中是特殊的。


(圖示)費曼圖(上)基于點粒子及其相互作用,將它們轉換成弦理論的類似物(下),可以得到具有非平直曲率的曲面。在弦理論中,所有粒子只不過是一種潛在、更基本結構的不同振動模式:弦。但是,與弦理論有著緊密聯系的八元數,真的在宇宙中扮演著重要角色嗎?或者這只是數學問題?

不會是宇宙運行的“答案”

這四類代數是唯一可以將一個數除以除零以外的任何數,而不會得到未定量的代數,這使它們成為唯一存在的賦范除法代數。如果你試圖將八元數擴展成一個16元的代數,就會得到七元數,它們遵循它們自己的非交換、非結合乘法規則,但如果試圖合并除法,就會失敗。八元數本身永遠不會是宇宙萬物如何運行的“答案”,但它們確實提供了一種強大、廣義的數學結構,具有自己獨特的性質。它包括實數、復數和四元數的數學,但也引入了從根本上獨特的數學性質。


這些性質可以應用于物理學,以做出新穎的預測,八元數可以給我們一個想法,從已知物理的擴展來看,哪些可能性可能是令人信服的,哪些可能不那么有趣,但八元數本身并沒有預測到具體的觀測結果。八元數之于物理學,就像塞倫斯之于尤利西斯,八元數也絕對有誘惑力,八元數數學結構具有難以置信的豐富性,但沒有人知道這種豐富性對我們的宇宙是否意味著什么,更多的宇宙奧秘和數學,要有待進一步的發現和探索,例如從1、2、3…9之后,人類才突破了有0的概念!

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